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答案是用人脸图片的样本集来训练深度神经网络，我们可以得到人脸图像流形的参数化映射（编码）和局部参数表示（解码）。 2005 年， Bachmann 等[77]学者研究发现高光谱数据中存在非线性结构，主要是由于高光谱图像成像时受不同时间的大气环境、不同反射率和光照、地物组成成分变化等影响，使同类地物光谱曲线存在差异，表现出非线性结构。 PCA、 MNF 和 LDA 等方法是以统计学原理为基础，并根据统计学的某一优化准则，构建一个最佳模型，属于线性特征提取方法。 此类方法的优点是模型确定、易于理解、处理方便和扩展性好等，但忽略了数据的空间分布，不能揭示出数据的内在结构特征。
我们把这套理论从纯理论变成算法，有算法之后就可以用在很多工程领域、图形学、计算机视觉、几何建模、网络、3D打印，当然也包括医学图像中。 方法论的灵活性 传统方法依赖于严格的因果关系，往往用偏微分方程来表达自然规律。 很多相关性可以用概率分布来表述，用深度学习可以习得。
如果流形嵌入到欧氏空间中，则欧氏空间被称为是背景空间。 关于聚类分布定律，目前有相对完善的理论基础-最优传输理论，和较为实用的算法，例如基于凸几何的蒙日-安培方程解法【2】，这些方法可以测量概率分布之间的距离，实现概率分布之间的变换【3】。 关于流形分布定律，目前理论发展不太完备，很多时候学习效果严重依赖于调参。 但是很多实际应用问题，都可以用流形的框架来建模，从而用几何的语言来描述、梳理，用几何理论工具来加以解决，进而有望从含混模糊的经验性试错，进化到思路清晰的定量研究。 这三类问题的理论根基，我们认为很大部分上仰仗共形几何。
我们可以把它计算一个保角变换，把左图变成右图，映射之后的拓扑发生巨大变化。 左边的镜框本来是一个封闭曲线，变换后的镜框变成了一条开放的螺旋线。 本来镜框外部的世界是真实的世界，镜框内部的世界是虚拟的世界。 经过变换以后，真实的世界和虚拟的世界混为一谈。 很多惊恐片、科幻片都是基于这个原则：将现实和梦境混为一谈。
作为对比我们看一下，把同一张脸映射到同一个平面上。 我们在可以在平面圆盘上放许多无穷小圆，然后拉回来看它们在曲面上的形状。 上面一行是保角变换，保持了小圆的形状不变。 下面是一般的微分同胚，它把平面上的无穷小圆，变成了曲面上的无穷小椭圆。
LLE、 ISOMAP、 LE 和 LTSA 都属于流形学习研究的代表性文献，在流形学习领域具有划时代的意义，但这几种算法都是非线性特征提取方法，从高维空间到低维空间没有明确的映射关系，无法直接处理新样本。 我们假设背景空间是三维欧氏空间，流形是米勒佛曲面，如图12所示。 我们在弥勒佛表面上稠密采样，然后训练一个自动编码器，得到编码映射和解码映射。 编码映射将曲面映射到隐空间即二维欧氏空间，如图13所示；解码映射将隐空间表示映射回背景空间，得到重建流形，如图14所示。 我们采用ReLU作为激活函数，编码解码映射为分片线性映射。 编码映射将背景空间分解为很多胞腔，在每个胞腔内编码映射为线性映射，图13右帧画出了背景空间的胞腔分解。 我们从图中可以看到重建流形比较精确地逼近了原始的输入流形，几乎保留了所有的几何细节。
流形是拓扑和微分几何中最为基本的概念，本质上就是很多欧氏空间粘贴在一起构成的空间。 如图1所示，一个流形（manifold）是一个拓扑空间S，被一族开集所覆盖，对于每个开集存在一个同胚映射，被称为是坐标映射，被称为是参数域。 构成一个局部坐标卡（local chart），所有局部坐标卡构成流形的图册（atlas），。 在交集上，每个点可以有多个局部坐标，在局部坐标间存在变换。 从流形到坐标域的变换被称为是参数化，其逆变换，从局部坐标到流形的变换被称为是流形的局部参数表示。
过去我也写了几本书，和邱先生一起写的《计算工程几何》；还有《离散曲面变分法》。 最后这本书在还国内买不到，它是讲如何应用这套理论进行曲面配准和形状分析。 最近我还在写一本新书，汉语的，打算把《计算共形几何》的讲义写得更加深入浅出一些，更加工程一些。
这里，所有的映射都是用分片线性映射来逼近的。 注意，这里参数化映射并不唯一，这会带来隐空间概率密度的变化，后面我们会对此进行详细讨论。 我们知道曲面到平面区域的微分同胚有无穷多个，这些微分同胚构成的空间是无穷多维，所以很难控制；从曲面到平面的黎曼映照也有无穷多个，但是所有的黎曼映照构成的空间只有三维。 所以维数非常有限，只需要在曲面边界上固定三个点，映射就可以被唯一固定。 很多时候你可能想要找一个典范映射，第一行的保角变换就是比较好的选择；如果你想研究更为广义的微分同胚，用下方的。 共形几何涵盖的范围很广，其中拟共形变换包括了所有可能的微分同胚。 例三：我们考察所有的rgb彩色图像所构成的空间，记为背景空间。 空间中所有人脸的图像所构成的子集记为S，我们来分析一下人脸图像集合是否符合流形分布定律。
大家都学过复变函数，学过保角变换，可能大家也学过代数拓扑、代数几何、代数曲线，特别是微分几何和偏微分方程PDE，共形几何是这些数学分支的交叉点。 顾险峰教授此次出席的图像计算与数字医学国际研讨会（ISICDM2017）暨智能医学信息处理论坛，是由国际数字医学会、中华医学会数字医学分会、中华医学会病理学分会主办，电子科技大学电子工程学院承办。 深度学习的强大能力来源于某类知识的整体表达，而传统算法只能利用同一类别的局部有限知识。 同时深度学习囿于底层流形的选择，很多算法移植性依赖于底层流形的替换。 这是米开朗基罗的大卫头像，我们将头像扫描下来得到了这张三维曲面。
